Hagamos maravillas con los números

¿Que son los números naturales?

2010-09-29T07:20:00.000-07:00

INTRODUCCIÓN

En el presente blog, podremos dar un repaso a las nociones básicas sobre números naturales y podremos practicar con ellos las operaciones aditivas (suma y resta) y las multiplicativas (multiplicación).

Los números que aparecen en cada escena se generan al azar, lo que permite utilizarla indefinidamente, y sacar de cada una de ellas innumerables actividades diferentes. Además los números son de una o dos cifras, cuyos cálculos se hacen mentalmente con facilidad.

OBJETIVOS

· Identificar los valores de los números naturales.

· Representar gráficamente sobre una recta varios números naturales.

· Ordenar varios números naturales, según su valor en la tabla de valores.

· Sumar números naturales.

· Restar números naturales.

· Entender por qué con la resta no se puede hacer como con la suma, hay que mantener la posición de los números y colocar el mayor primero.

· Conseguir destreza en el cálculo mental de sumas y restas.

· Resolver multiplicaciones con de números natrales.

· Resolver problemas con situaciones cotidianas de la manera mas adecuada.

¿Que son los Números Naturales?

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

El conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:

5 > 3; 5 es mayor que 3.

3 < 5; 3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...

Los números llamados naturales son los que se utilizan para contar y ordenar los

diversos objetos que hay a nuestro alrededor.

Contar las páginas de un libro: 74 páginas _ setenta y cuatro páginas.

Ordenar la llegada de los atletas que participan en una carrera.

Para escribir un número se usan diez cifras o dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Cada cifra tiene un valor distinto según la posición que ocupa.

Centenas de mil	Decenas de mil	Unidad de mil	centenas	decenas	unidades
CM	DM	UM	C	D	U
100.000	10.000	1.000	100	10	1

Ejemplo:

4 307 = 4 UM + 3 C + 0 D + 7 U

Diez unidades de un orden cualquiera equivalen a 1 unidad del orden inmediatamente superior.

Una unidad de un orden cualquiera equivale a 10 unidades del orden inmediatamente inferior.

10 U = 1 D 1 decena

10 D = 1 C 1 centena

100 U = 10 D 1 C

“Ahora practica según tus conocimientos”

INTRODUCCION:

Valorar la importancia que tiene la buena utilización de los números naturales y el reconocimiento del valor posicional de cada número dado hasta de 4 cifras.

OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES

ALGORITMOS

Para resolver operaciones con los números naturales, debemos tener en cuenta los procedimientos adecuados o los algoritmos de resolución, es decir, la secuencia de pasos para obtener el resultado de X ó Y operación.

SUMA DE NÚMEROS NATURALES

Si tenemos dos grupos de elementos iguales y deseamos saber cuantos tenemos en total, lo que estaremos haciendo es unir los grupos y contar los elementos del conjunto unión. A esa operación se llama suma o adición.

Si tuviéramos una operación en la que 4 + 2 = 6, a los términos de dicha suma se les llama sumandos (4 y 2) y al resultado se llama suma (6).

RESTA DE NÚMEROS NATURALES

Restar elementos (o sustraer), al igual que sumarlos, es una de las primeras cosas que aprendemos con los números ya desde muy pequeños.

Al igual que el concepto de suma está mentalmente asociado a "añadir", el concepto de restar está muy asociado mentalmente a "perder".

Efectivamente cuando restamos dos cantidades, el resultado que obtenemos es menor del que partimos de ahí la asociación de pérdida.

Si de un conjunto de elementos retiramos algunos y deseamos saber cuantos quedan, lo que realizamos es una resta.

Al restar dos elementos, quitamos al número inicial los elementos que indique el número final. A esta operación también se le llama sustracción o diferencia.

Cuando restamos dos números a y b, se obtiene un número c y se expresa como:

a - b = c.

Se les llama a: minuendo, b: sustraendo y c: diferencia.

2010-09-29T06:51:00.000-07:00

Historia de los números naturales

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2009-10-24T08:44:00.000-07:00

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¿QUÉ SABE EL NIÑO SOBRE LA DIVISIÓN? ¿CÓMO HACE PARA DIVIDIR ENTRE UNA CIFRA?

2009-03-26T13:58:00.003-07:00

Luego de haber cursado los tres primeros años de primaria, el niño seguramente conozca el algoritmo de la división con divisor de una cifra, trabajo que de acuerdo a los contenidos programáticos fue iniciado en segundo año. También se espera que el niño posea un determinado repertorio de cálculo como “las tablas de multiplicar” hasta el 9, y aunque no recuerde en forma memorística todos los productos eguramente sea capaz de averiguarlos. Sería muy valioso también que a esta altura de la etapa escolar, el niño tuviera conocimiento sobre el esquema de la división, de los elementos que lo componen (dividendo, divisor, cociente y resto) y las relaciones existentes entre ellos. En la evaluación diagnóstica considero que es necesario proponer situaciones que nos permitan descubrir si estos conocimientos previos con los que “pensábamos contar”, están presentes en el grupo. Aún de estar presentes, será necesario retomar y resignificar algunos de ellos, pedirles a los niños que expliquen cómo creen ellos que se divide entre una cifra y tratar de ir pensando junto a ellos qué significado tiene cada uno de los pasos que usan al aplicar el algoritmo.

A continuación se presenta una vivencia realizada con un grupo de cuarto año, que si bien no estaban acostumbrados a buscar estrategias propias y en principio alegaban que eso aún no lo sabían y que todavía no les habían enseñado a dividir entre dos cifras, fueron poco a poco encontrando el modo, recuperando, revalorizando ya provechando los conocimientos que sí tenían sobre la división.

Las socializaciones acerca de las diferentes estrategias utilizadas por los distintos niños y grupos de niños (ya que en muchas de las situaciones trabajaron en duplas) fueron realmente interesantes y valiosas, ya que aportaron nuevas ideas al grupo, algunas de las cuales fueron adoptadas por otros compañeros.

Posteriormente se presentan algunas situaciones propuestas en clase y las estrategias utilizadas por algunos niños.

Se quiere distribuir un alfajor a cada niño de los 245 que concurren a una colonia de vacaciones. Cada caja contiene 18 alfajores. ¿Cuántas cajas hay que abrir?

Esta situación fue propuesta al grupo al poco tiempo de haber comenzado el año. Varios de los niños no supieron cómo resolverla. Aquellos que lo hicieron, lo resolvieron, en su mayoría, mediante sumas sucesivas. Algunos alumnos reconocían que podían resolver la situación aplicando una división, pero se negaban a hacerlo debido a que aún no “sabían” dividir entre dos cifras.

Otra estrategia que surgió fue planteada como proporcionalidad directa, relacionando la cantidad
de cajas con la cantidad de niños. La socialización de los diferentes modos de resolver esta situación en particular, sirvió sobre todo para que esos alumnos que se habían bloqueado debido a desconocer una técnica para efectuar la operación, se dieran cuenta que a pesar de “no saber” habían modos de lograrlo.

Un piso tiene15 baldosas de ancho y un total de 390 baldosas. Corta la tira de papel de manera que represente ese piso. (Se les entrega una tira de papel cuadriculado de 15 cuadraditos de ancho y 45 de largo).

A) ¿Puedes resolver por dónde cortar con una sola operación? ¿Cuál sería?
B) ¿Cuántas baldosas tiene el piso a lo ancho?

La resolución que se presenta pertenece a una situación propuesta un tiempo después. En ella se evidencian avances respecto de las anteriores, ya que no utiliza sumas sucesivas sino que la
alumna se vale de sus repertorios de cálculo para resolver la situación de un modo más económico. Al solicitarle a la niña que explicara lo que había escrito, ella argumentó: “diez veces las filitas de 15 (ancho) da 150, y si pongo diez filitas más llego a 300”. Luego le faltaban 90 y
explica: “como 15 más 15 es 30 y el 30 entra 3 veces en el 90, son seis filitas más; así que en total tengo 26 filitas que serían las 26 baldosas”.

Otro grupo de niños, resolvió esta situación diseñando una tabla de multiplicar por 26, porque según explicaron tenían que encontrar un número que multiplicado por 26 les diera por resultado 390, y resolvieron hacerlo mediante el mismo procedimiento que empleaban para dividir entre una cifra, pero necesitaban consultar la “tabla del 26”.

El analizar este tipo de avances junto a los niños, comparando las diversas estrategias, buscando lo que tienen en común y consultándoles cuál de ellas les resultan más efectivas y por qué, hace que los niños trabajen con más entusiasmo y continúen avanzando, lo cual no significa que siguiendo este camino logren adquirir el algoritmo tradicional de la división entre dos cifras, tal como nosotros lo aprendimos.

AHORA, CONOZCAMOS LA DIVISIÓN Y LOS PROCEDIMIENTOS ADECUADOS PARA RESOLVERLA:

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LA MAGIA DE LA DIVISION

La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.

Entre seis amigos hemos comprado treinta y ocho caramelos, que ahora queremos repartir en partes iguales. Si empezamos a repartir uno a uno, ¿cuántos caramelos tendremos al final cada uno de los seis amigos? ¿Sobrará algún caramelo? ¿Se te ocurre otra forma de hacer el reparto que no sea ir dando uno a uno?

TÉRMINOS DE LA DIVISIÓN:

Para efectuar repartos en partes iguales de una cantidad entre otra, efectuamos una operación llamada división. Los términos o componentes de una división son:

EL DIVIDENDO es la cantidad que se reparte.

EL DIVISOR son las partes entre las que se reparte el dividendo.

EL COCIENTE es la cantidad que le corresponde a cada parte del dividendo.

EL RESTO es la cantidad que sobra tras el reparto, y que es siempre menor que el divisor.
Cuando el resto es cero, decimos que la división es exacta. En este caso podemos escribir la división en una línea horizontal, usando el símbolo “:” entre el dividendo y el divisor. Por ejemplo, 6 : 2 = 3.

Cuando el resto es distinto de cero, decimos que la división es entera o inexacta. Si escribimos la división en horizontal, con el símbolo “:”, hemos de añadir tras el cociente que el “resto es igual a...” Por ejemplo, 7 : 2 = 3 y resto = 1.

En el caso del reparto de caramelos, si dividimos 38 (que es el dividendo) entre 6 (que es el divisor), a cada amigo le corresponden 6 (que es el cociente) y sobran 2 (que es el resto) caramelos: 38 : 6 = 6, resto = 2

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

2009-03-26T13:57:00.005-07:00

DIVISION POR UNA CIFRA

Consideramos la cifra de la izquierda del dividendo, debe ser mayor que el divisor, si es menor cogemos dos cifras del dividendo.

- Lo dividimos por el divisor, para hallar esa cifra repasamos la tabla de multiplicar de la cifra del divisor hasta acercarnos a las cifras del dividendo sin pasarnos. Colocamos esa cifra en el cociente, a la derecha.

- Multiplicamos esa cifra por el divisor y lo restamos a las cifras del dividendo, ponemos su resto debajo.

- Bajamos la cifra siguiente del dividendo y la colocamos a la derecha del resto.

- Repetimos el mismo proceso hasta que ya no queden cifras del dividendo sin bajar.

Cuando el número de la izquierda es más pequeño que el divisor ponemos 0 en el cociente y bajamos la cifra siguiente sin hacer la multiplicación ni la resta ya que daría lo mismo.

PARA APLICAR LO ANTERIOR VISITA LA SIGUEINTE PAGINA:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/division/d1ca.htm on/d1ca.htm

El ALGORITMO DE LA DIVISION se construye a partir de una tabla elemental, que es inversa de la de multiplicar.
La lectura de la tabla es, por ejemplo, 10 : 5 = 2, leído: «diez entre cinco igual a dos» o, bien «diez dividido cinco es igual a dos».

DIVISION POR DOS CIFRAS

2009-03-26T13:57:00.003-07:00

Consideramos tantas cifras de la izquierda del dividendo que formen un número mayor que el divisor. Es decir cogemos dos o tres cifras de la izquierda.

- Para hallar la primera cifra del cociente lo dividimos por el divisor, pero para hacerlo mentalmente más fácil quitamos la cifra de la derecha de los dos. Así decimos "cabe a ..." y colocamos esa cifra en el cociente, a la derecha.

- Multiplicamos esa cifra por la primera cifra de la derecha del divisor y lo restamos a la cifra de la derecha de las que cogimos del dividendo. Bajo ella ponemos la cifra que resulte y retenemos en mente las que nos llevemos.

- Hacemos lo mismo con la otra cifra, multiplicarla, sumar las llevadas y restarlo al dividendo. Si no hemos podido hacerlo porque no cabía entonces debemos intentarlo por la cifra anterior, una unidad menos. Así hasta que quepa y se pueda.

- Bajamos la cifra siguiente del dividendo y la juntamos al resto.

- Realizamos sucesivamente estos mismos pasos hasta que ya no queden cifras por bajar en el dividendo y habremos terminado la división.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/division/d2ca.htm EJEMPLO DIVISION POR DOS CIFRAS
observa pasos claros para resolver divisiones por dos cifras
Para dividir un número natural entre otro, por ejemplo 285 entre 15, se siguen unos pasos que vemos a continuación.
1. Nos fijamos en cuántas cifras tiene el divisor: dos. Tomamos entonces del dividendo tantas cifras como tiene el divisor, empezando desde la cifra que está más a la izquierda, en este caso la de las centenas; el número formado es 28.
285└15
2. Comparamos ese número (28) con el divisor (15). Como 28 > 15, podemos dividir 28 entre 15, y para ello buscamos un número que multiplicado por 15 dé 28 o un número menor, pero el más próximo a él. Como 15 × 2 = 30, el número buscado es 1 (se suele decir “cabe a 1”), y lo escribimos en el cociente. Hacemos la multiplicación 1 × 15 = 15, y escribimos el producto bajo el dividendo: └

3. Efectuamos la resta (28 – 15 = 13), y bajamos a continuación la siguiente cifra del dividendo, en este caso la de las unidades (5):

4. Ahora dividimos el número formado (135) entre el divisor (15); operamos igual que en el paso 2: como 15 × 8 = 120 y 15 × 9 = 135, el número buscado es el 9, y lo colocamos en el cociente, a continuación del 1. Efectuamos la multiplicación 15 × 9 = 135, y escribimos el producto debajo del nuevo dividendo, y restamos:

Ya hemos dividido 285 entre 15, el resultado es 19, y vemos también que la división es exacta porque el resto = 0.

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN. OTRO EJEMPLO

2009-03-26T13:57:00.001-07:00

Hallemos la división de dividendo 948 y divisor 32. La disposición y algoritmo se describen abajo, siendo el resultado: cociente 29, y resto 20.

Donde la primera cifra del cociente, "2", es el número que multiplicado por el divisor se aproxima más por defecto a las dos primeras cifras, como número, del dividendo; las cifras "30" que se sitúan debajo es el resto, que representa la diferencia entre dicha multiplicación "64" y las dos primeras cifras del dividendo "94"; (si fuera necesario para poder realizar la multiplicación por defecto, se podrían tomar una cifra más del dividendo).

A dichas cifras "30" se le añade la cifra posterior derecha de del dividendo "8", que, tomado como número 308, se constituye en nuevo dividendo al que se le aplica el mismo procedimiento, dando un nuevo cociente como cifra "9" y un resto de 20. El resultado cociente es el número formado por las dos cifras 29.

Comprobación:

29 * 32 + 20 = 948

LA PRUEBA DE LA DIVISIÓN

2009-03-26T13:56:00.003-07:00

Si una división está bien hecha se debe cumplir que: Dividendo = divisor × cociente + resto
Si la división es exacta, entonces, como el resto es cero, debe cumplirse que: Dividendo = divisor × cociente
Como ejemplo, podemos hacer la prueba a algunas de las divisiones anteriores.
Al dividir 285 entre 15 obteníamos: cociente = 19 y resto = 0. Multiplicando divisor por cociente: 15 × 19 = 285 = dividendo
es decir, la división está bien hecha.

Ahora vamos a la practica.

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practicas divisibles

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